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Desigualdad básica, Resultado de una leyenda rusa

Matriu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 13 2021, 01:00 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sea $u \in H_{0}^{1}(\mathbb{R}^{2})$. Pruebe que existe una constante $C>0$ tal que $$\\|u\\|_{L^{4}(\mathbb{R}^{2})}^{4} \leq C \\|u\\|_{L^{2}(\mathbb{R}^{2})}^{2} \\| \nabla u\\|_{L^{2}(\mathbb{R}^{2})}^{2}.$$ <br />Se esperan dos soluciones. Una "a mano" y otra usando un cañón (un resultado de interpolación debido a dos grandes de las EDP).<br />$ --------------------

Ladyzhenskaya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 16 2021, 10:33 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 16-June 21 Desde: San Petersburgo, Rusia Miembro Nº: 167.093 Sexo:	$TEX: <br />Como es usual en este tipo de desigualdades, podemos asumir que $u$ es en $C^\infty_0(\mathbb R^2)$ y luego usar la densidad de este espacio en $H^1_0(\mathbb R^2)$.<br />Integrando en la direccion de $x$ y usando el teorema fundamental del calculo (en una dimension)<br />\[ u(x,y)^2 = \int_{-\infty}^x \partial_x(u^2) \, d\tilde x =2 \int_{-\infty}^x u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y)\, d\tilde x<br />\leq 2 \int_\mathbb R \|u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) \| \, d\tilde x, \]<br />y de manera analoga integrando en el eje $y$,<br />\[ u(x,y)^2 \leq 2 \int_\mathbb R \|u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)\| \, d\tilde y. \]<br /><br />Con lo anterior tenemos que<br />\[ u(x,y)^4 \leq 4 \int_\mathbb R \|u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) \| \, d\tilde x \int_\mathbb R \|u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)\| \, d\tilde y \]<br />integrando en $x$ obtenemos (notando que la primera integral del lado derecho es independiente de $x$),<br />\[ \int_\mathbb R u(x,y)^4\, dx \leq 4 \int_\mathbb R \|u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) \| \, d\tilde x \int_{\mathbb R^2} \|u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)\| \, d\tilde y dx \]<br />e integrando en $y$,<br />\[ \int_{\mathbb R^2} u(x,y)^4\, dxdy \leq 4 \int_{\mathbb R^2} \|u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) \| \, d\tilde x dy \int_{\mathbb R^2} \|u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)\| \, d\tilde y dx. \]<br />Para finalizar aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las últimas integrales,<br /> \[ \int_{\mathbb R^2} u(x,y)^4\, dxdy \leq 4 \\| u\\|_{L^2}\\| \partial_x u\\|_{L^2}\\| u\\|_{L^2}\\| \partial_y u\\|_{L^2}\leq 2 \\| u\\|_{L^2}^2 \\| \nabla u\\|_{L^2}^2, \]<br />que es la desigualdad pedida para funciones en $C_0^\infty(\mathbb R^2)$.<br />Ahora dada una función $u\in H_0^1(\mathbb R^2)$ podemos tomar una sucesión $(u_n)_{n\in \mathbb N} \subseteq C_0^\infty(\mathbb R^2)$ convergiendo a $u$ en la norma de $H_0^1(\mathbb R^2)$. Por la desigualdad que demostramos, esto implica que la sucessión es acotada en $L^4(\mathbb R^2)$, por lo tanto, por el teorema de Banach-Alaoglu, $u_n$ converge débil (salvo subsucesión) en $L^4(\mathbb R^2)$ a $\tilde u$. Como ambos límites implican convergencia en distribución y esta es única, obtenemos que $\tilde u = u$ c.t.p. Finalmente tenemos que<br />\[ \\| u\\|_{L^4(\mathbb R^2)}^4 \leq \liminf_n \\| u_n\\|^4 \leq 2\liminf_n \\| u_n\\|_{L^2}^2 \\| \nabla u_n\\|_{L^2}^2 = 2\\| u\\|_{L^2}^2 \\| \nabla u\\|_{L^2}^2\]<br /><br />$ Mensaje modificado por Ladyzhenskaya el Jun 18 2021, 12:57 PM

Matriu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 18 2021, 12:36 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Ladyzhenskaya @ Jun 16 2021, 10:33 PM) $TEX: <br />Como es usual en este tipo de desigualdades, podemos asumir que $u$ es en $C^\infty_0(\mathbb R^2)$ y luego usar la densidad de este espacio en $H^1_0(\mathbb R^2)$.<br />Integrando en la direccion de $x$ y usando el teorema fundamental del calculo (en una dimension)<br />\[ u(x,y)^2 = \int_{-\infty}^x \partial_x(u^2) \, d\tilde x =2 \int_{-\infty}^x u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y)\, d\tilde x<br />\leq 2 \int_\mathbb R \|u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) \| \, d\tilde x, \]<br />y de manera analoga integrando en el eje $y$,<br />\[ u(x,y)^2 \leq 2 \int_\mathbb R \|u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)\| \, d\tilde y. \]<br /><br />Con lo anterior tenemos que<br />\[ u(x,y)^4 \leq 4 \int_\mathbb R \|u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) \| \, d\tilde x \int_\mathbb R \|u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)\| \, d\tilde y \]<br />integrando en $x$ obtenemos (notando que la primera integral del lado derecho es independiente de $x$),<br />\[ \int_\mathbb R u(x,y)^4\, dx \leq 4 \int_\mathbb R \|u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) \| \, d\tilde x \int_{\mathbb R^2} \|u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)\| \, d\tilde y dx \]<br />e integrando en $y$,<br />\[ \int_{\mathbb R^2} u(x,y)^4\, dxdy \leq 4 \int_{\mathbb R^2} \|u(\tilde x, y)\partial_x u(\tilde x, y) \| \, d\tilde x dy \int_{\mathbb R^2} \|u( x, \tilde y)\partial_y u(x, \tilde y)\| \, d\tilde y dx. \]<br />Para finalizar aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwart a las últimas integrales,<br /> \[ \int_{\mathbb R^2} u(x,y)^4\, dxdy \leq 4 \\| u\\|_{L^2}\\| \partial_x u\\|_{L^2}\\| u\\|_{L^2}\\| \partial_y u\\|_{L^2}\leq 2 \\| u\\|_{L^2}^2 \\| \nabla u\\|_{L^2}^2, \]<br />que es la desigualdad pedida para funciones en $C_0^\infty(\mathbb R^2)$.<br />Ahora dada una función $u\in H_0^1(\mathbb R^2)$ podemos tomar una sucesión $(u_n)_{n\in \mathbb N} \subseteq C_0^\infty(\mathbb R^2)$ convergiendo a $u$ en la norma de $H_0^1(\mathbb R^2)$. Por la desigualdad que demostramos, esto implica que la sucessión es acotada en $L^4(\mathbb R^2)$, por lo tanto, por el teorema de Banach-Alaoglu, $u_n$ converge débil (salvo subsucesión) en $L^4(\mathbb R^2)$ a $\tilde u$. Como ambos límites implican convergencia en distribución y esta es única, obtenemos que $\tilde u = u$ c.t.p. Finalmente tenemos que<br />\[ \\| u\\|_{L^4(\mathbb R^2)}^4 \leq \liminf_n \\| u_n\\|^4 \leq 2\liminf_n \\| u_n\\|_{L^2}^2 \\| \nabla u_n\\|_{L^2}^2 = 2\\| u\\|_{L^2}^2 \\| \nabla u\\|_{L^2}^2\]<br /><br />$ $TEX: <br />Es un honor que la mismísima Ladyzhenskaya haya respondido. Asumo que querías decir Cauchy--Schwarz en vez de Cauchy--Schwart. A veces la gente se confude y escribe Cauchy-Schwartz lo cual está mal ya que Schwartz es un mátematico francés del siglo pasado (el de la clase de Schwartz) mientras que Schwarz es un matemático alemán del siglo XIX (el del principio de reflexión de Schwarz).<br />$ --------------------

Ladyzhenskaya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 18 2021, 01:01 PM Publicado: #4
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 16-June 21 Desde: San Petersburgo, Rusia Miembro Nº: 167.093 Sexo:	CITA(Matriu @ Jun 18 2021, 12:36 PM) $TEX: <br />Es un honor que la mismísima Ladyzhenskaya haya respondido. Asumo que querías decir Cauchy--Schwarz en vez de Cauchy--Schwart. A veces la gente se confude y escribe Cauchy-Schwartz lo cual está mal ya que Schwartz es un mátematico francés del siglo pasado (el de la clase de Schwartz) mientras que Schwarz es un matemático alemán del siglo XIX (el del principio de reflexión de Schwarz).<br />$ Sí, gracias. Estaba al tanto de la existencia de ambos Schwart?z, pero nunca me recuerdo de cual es cual o como se escribe exactamente.

Ladyzhenskaya Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2021, 03:02 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 3 Registrado: 16-June 21 Desde: San Petersburgo, Rusia Miembro Nº: 167.093 Sexo:	Con el cañon me imagino que te refieres a la desigualdad de interpolación de Niremberg-Gagliardo, en tal caso es solo tomar valores particulares en esa desigualdad.

Matriu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 13 2021, 07:44 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 1-March 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.656 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Ladyzhenskaya @ Jul 1 2021, 03:02 PM) Con el cañon me imagino que te refieres a la desigualdad de interpolación de Niremberg-Gagliardo, en tal caso es solo tomar valores particulares en esa desigualdad. Correcto --------------------

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