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Laðeralus Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 27 2023, 06:56 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 947 Registrado: 28-September 07 Desde: Santiago Miembro Nº: 10.639 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Calcule $TEX: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sin \left(\frac{1}{x}\right) + \cos \left(\frac{1}{x}\right) \right)^x$$ ,,,,,,,,,,,,,, se esperan muchas soluciones,,,,,,,,,,,,,, mejor si es fraccionaria,,,,,,,,,,,,,,

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 12 2023, 10:16 AM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Sea $f(x) = (\cos(1/x)+\sin(1/x))^x$, entonces <br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\ln f(x) &= x\ln(\cos(1/x)+\sin(1/x))\\<br /> &= x\ln(\cos(1/x)) + x\ln(1+\tan(1/x))<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />sabemos que si $g(x)\to 1$ cuando $x\to\infty$, $\frac{\ln(g(x))}{g(x)-1}\to 1$ si $x\to\infty$, luego<br />\begin{equation}<br />\begin{aligned}<br />\ln f(x) &= x\ln(\cos(1/x)) + x\ln(1+\tan(1/x))\\<br /> &= \frac{\ln(\cos(1/x))}{\cos(1/x)-1}x(\cos(1/x)-1) + x\tan(1/x)\cdot \frac{\ln(1+\tan(1/x))}{\tan(1/x)}\\<br /> &= \frac{\ln(\cos(1/x))}{\cos(1/x)-1}\cdot\frac{\cos(1/x)-1}{1/x} + \frac{\sin(1/x)}{1/x}\cdot\frac{1}{\cos(1/x)}\cdot \frac{\ln(1+\tan(1/x))}{\tan(1/x)}\\<br /> &\to 1\cdot 0 + 1\cdot 1\cdot 1 = 1<br />\end{aligned}<br />\end{equation}<br />se sigue que $\exp(\ln f(x))\to \exp(1)$, es decir, $\lim_{x\to\infty}f(x) = e$.<br />$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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