E Álgebra Abstracta, 2S 2011 Opciones

[Cenizas con Most...]

Prof. Rafael Tiedra.





Mensaje modificado por Cenizas con Mostaza el Feb 16 2012, 07:15 PM

[Gastón Burrull]

Intenten hacer el problema 2, es el más interesante, por lo que me abstendré hasta que alguien de una respuesta.

[coquitao]

Comentarios adicionales:

1. http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=43474
2. En mi opinión, es el más interesante porque es el único cuya formulación tomó menos de un kilómetro de caracteres.

[Gastón Burrull]

Solución correcta coquitao, muy bien

Hay un resultado más general en T. W. Hungerford:

Ejercicio II.5.2: Todo subgrupo normal de un p-grupo tiene intersección no trivial con el centro.

Idea de solución II.5.2: Trivial, ver lema II.5.1.

Este lema es mucho más suave y resuelve el problema de inmediato, ya que solo trabajamos con p-grupos es más fácil. Incluso del lema se deducen todos los teoremas de sylow incluyendo el de índice de menor primo.

Saludos.

Mensaje modificado por Gastón Burrull el Mar 5 2012, 11:18 AM

[coquitao]

Hay un resultado más general en T. W. Hungerford:

Ejercicio II.5.2: Todo subgrupo normal de un p-grupo tiene intersección no trivial con el centro.

Idea de solución II.5.2

En mi solución al problema, va incluida la demostración de ese ejercicio (líneas 3-10) porque mi idea fue precisamente aplicar el resultado a H.

[Gastón Burrull]

En mi solución al problema, va incluida la demostración de ese ejercicio (líneas 3-10) porque mi idea fue precisamente aplicar el resultado a H.

Exacto, pero si te fijas es la misma idea de los 3 teoremas de Sylow, ese análisis de órbitas y de p-grupos demuestra todo. Las consecuencias del teorema de Sylow y sus colorarios vienen de jugar con acciones de p-grupos, hay una rama enorme u mucho más general que se dedica exclusivamente a ella.

En particular, este problema no sale de Sylow, sino de su propia demostración.

Simplemente haciendo actuar p-grupos sobre conjuntos obtienes resultados increíbles, y una pequeña parte de ellos son los Sylow. Aún más fascinante es el mundo de las acciones de grupos en general, me gustaría dedicarme a ese tema algún día, pues con una simple acción puedes obtener información de estructuras algebraicas que de otro modo es prácticamente imposible obtenerlas.

[coquitao]

En particular, este problema no sale de Sylow, sino de su propia demostración.

Querrás decir, "sino de una de sus demostraciones". Específicamente, hablamos de la línea sugerida por un tal R. J. Nunke.

[Gastón Burrull]

Querrás decir, "sino de una de sus demostraciones". Específicamente, hablamos de la línea sugerida por un tal R. Nunke (citation needed ).

Es cierto, pero todas las demostraciones de los Sylow salen de actuar p-grupos sobre cosas . Salvo el primer teorema de Sylow que usa el teorema de Cauchy como partida, y ese sale de acciones de p-grupos .

Ahora bien, hablo de las de Hungerford. Creo que Dummit usa estas acciones de p-grupos de una manera muy sutil.

Mensaje modificado por Gastón Burrull el Mar 7 2012, 10:40 AM

[coquitao]

Es cierto, pero todas las demostraciones de los Sylow salen de actuar p-grupos sobre cosas . Salvo el primer teorema de Sylow que usa el teorema de Cauchy como partida, y ese sale de acciones de p-grupos .

Cuidado con todos esos categóricos. Por ejemplo, no todas las pruebas del primero de Sylow parten del teorema de Cauchy. Herstein expone en su Topics una debida a H. Wielandt que no depende de Cauchy y que por tanto nos da una nueva prueba para tal teorema. Sobre la prominencia de la noción de acción, mi opinión es que lo verdaderamente relevante en estos asuntos es la noción de "relación de equivalencia". Según yo, decir que todos los Sylow son por acciones es como decir que el teorema de Lagrange también lo es. O también, como decir que la irracionalidad de es por Fermat-Wiles.

Ahora bien, hablo de las de Hungerford. Creo que Dummit usa estas acciones de p-grupos de una manera muy sútil.

Como mencioné en un post de arriba, no es las de Hungerford. La gente le atribuye la presentación a un tal R. J. Nunke (Hungerford mismo lo hace, como el índice de autores en el libro lo puede constatar).

Saludos.

[Gastón Burrull]

Esa linea es la más directa que he visto en libros por su simplicidad.

Ahora claro acciones inducen partición. Es interesante el álgebra de estabilizadores como subgrupos y su relación con el cardinal de las órbitas. Todas las lineas que he visto que demuestran sylow no salen de otra parte que no sea acciones de p grupos, quizás salvo el primer sylow que puede venir directo del teorema de cauchy, desconocía que había una demostración distinta a la de acción de un p grupo cíclico.